Rumus Penjumlahan Dan Pengurangan Vektor

A. Penjumlahan Vektor

Diandaikan sebuah partikel melaksanakan pergeseran A dilanjutkan dengan pergeseran B. Kedudukan selesai pergeseran ini sama dengan C, sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 2.29(a). Pergeseran C disebut penjumlahan vektor atau resultan vektor dari dua vektor A dan B. Penjumlahan ini dituliskan sebagai  C=A+B

Vektor C ialah jumlah vektor A dan B. Penjumlahan vektor bersifat komutatif. Tanda positif pada penjumlahan vektor ini dicetak tebal untuk menekankan bahwa penjumlahan vektor memerlukan proses geometri dan tidak sama dengan operasi penjumlahan dua bemasukan skalar menyerupai 2 + 3 = 5. 

Dalam penjumlahan vektor kita menempatkan awal vektor yang kedua pada ujung vektor yang pertama (Gambar 2.29(a)). Jika pergeseran dimulai dengan B dan dilanjutkan ke A ternyata jadinya tidak berubah (Gambar 2.29(b)). Jadi, C=B+AdanA+B=B+A. 

Hasil ini menawarkan bahwa urutan suku-suku penjumlahan vektor tidak penting. melaluiataubersamaini kata lain, penjumlahan vektor bersifat komutatif. Penjumlahan vektor sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 2.29(a) dan 2.29(b) disebut dengan metode segitiga. 

Gambar 2.29(c) menawarkan alternatif lain dalam penggambaran penjumlahan vektor. Jika A dan B digambarkan dengan titik awal yang sama, resultan vektor C ialah diagonal jajaran genjang yang sisi-sisinya A dan B. Penjumlahan ini dikenal dengan metode jajaran genjang. 

Perlu diketahut, jikalau C = A + B bukan berarti besarnya vektor C sama dengan besarnya vektor A ditambah besarnya vektor B. Gambar 2.29 menawarkan bahwa C < A + B. Untuk keadaan khusus dimana A dan B sejajar maka besarnya C sama dengan besarnya A ditambah besarnya B (Gambar 2.30(a)). Sebaliknya, untuk A dan B keduanya antisejajar maka besarnya C sama dengan besarnyaA dikurangi besarnya B (Gambar 2.30(b)). 

Sebagai citra penjumlahan vektor, perhatikan gambaran diberikut ini. Tiara berjalan 4 m ke timur kemudian dilanjutkan 3 m ke utara. Apakah perpindahan Tiara 7 m? melaluiataubersamaini memakai faktor skala panjang 1 cm mewakili perpindahan 1 m, maka perpindahan ke timur digambarkan 4 cm dan perpindahan ke utara digambarkan 3 cm. (Gambar 2.31). 

melaluiataubersamaini mengukur panjang resultan vektor R diperoleh panjang R = 5 m. Ini berarti perpindahan Tiara 5 m bukan 7 meter. Hasil ini menawarkan bahwa penjumlahan vektor tidak sama dengan penjumlahan skalar. 

Jika vektor yang dijumlahican lebih dari dua, penjumlahan vektornya mengikuti hukum diberikut ini. Mula-mula dua vektor sembarang dijumlahican, dan jadinya dijumlahkan dengan vektor ketiga, dan seterusnya hingga seluruh vektor dijumlahkan. Gambar 2.32(a) menawarkan tiga vektor A, B, dan C yang akan dijumlahican. Pada Gambar 2.32(b) vektor A dan B dijumlahkan sehingga menghasilkan vektor D. Kemudian, vektor D dijumlahican dengan vektor C sehingga menghasilican jumlah vektor R.

Jadi, Sebagai alternatif, kita sanggup menjumlahican B dan C untuk menghasilican E. Kemudian vektor E ini dijumlahican dengan vektor A untuk memperoleh vektor R (Gambar 2.32(c). Jadi, Dari uraian di atas, sanggup disimpulkan bahwa dalam penjumlahan vektor berlaku sifat asosiatif. 

Alternatif lain untuk menjumlahkan dua vektor atau lebih ,adalah dengan menggunalcan metode poligon (segi banyak). Metode ini dikenal pula dengan istilah metode awal-keujung. Tekniknya ialah sebagai diberikut.

• Gambarlah salah satu vektor yang alcan dijumlahkan, contohnya A.
• Gambarlah vektor kedua, contohnya B, dan tempatkan awalnya pada ujung vektor A.
• Gambarlah vektor ketiga, contohnya C, dan tempatkan awalnya pada ujung vektor B, dan seterusnya.
• Resultan vektor sanggup diperoleh dengan menghubungkan awal vektor pertama ke ujung vektor yang terakhir.

Gambar 2.32(d) dan 2.32(e)menunjukkan penjumlahan vektor dengan metode poligon.
 

B. Selisih Vektor

Telah dijelaskan di depan bahwa A ialah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor A tetapi arahnya berlawanan. Konsep ini dipakai untuk mendefinisikan pengurangan vektor. Selisih A B dari dua vektor A dan B didefinisikan sebagai penjumlahan A dan-B, yaitu: A = A —B) 

Gambar 2.33 menawarkan contoh pengurangan vektor. Perhatikan bahwa untuk menggambar A — B, awal —B ditempatkan pada ujung A. 

Bemasukan vektor sanggup dikalikan dengan bemasukan skalar atau bilangan murni. Vektor 2A ialah seba vektor yang arahnya sama dengan vektor A tetapi panjangnya 2 kali lipat. Secara umum, jikalau vektor A dikalikan dengan sebuah skalar c, jadinya ialah cA dan besarnya iciA (harga mutlak c dikalikan dengan besarnya vektor A). Jika c positif, cA searah dengan A. Sebaliknya, jikalau c negatif, cA berlawanan arah dengan A. Jadi, 5A ialah vektor yang sejajar dengan A, sementara itu —5A ialah vektor yang anti sejajar dengan A. 

misal perkalian vektor dengan skalar ialah perumusan Hukum II Newton F = ma, dengan F ialah vektor gaya, m ialah massa benda, dan a percepatan benda. Perumusan ini akan dibahas lebih lanjut pada Bab 3. Karena massa benda m selalu positif maka F selalu searah dengan a.
 

C. Menentukan Besar dan Arah Resultan Vektor

melaluiataubersamaini salah satu metode yang sudah diuraikan di atas, kita sanggup menggambar resultan vektor. Pertanyaannya ialah berapakah besarnya dan kemanakah arahnya resultan vektor ini? Untuk menjawaban pertanyaan ini ada dua cara yang sanggup dilakukan. Pertama ialah dengan metode grafik dan kedua ialah dengan rumus cosinus. 

Metode Grafik Untuk memilih besar dan arah resultan vektor dengan metode grafik sanggup dilakukan melalui langkah-langkah diberikut ini.

• Lukislah sumbu-x positif yang digunakan. sebagai teladan untuk memilih arah vektor.
• Lukislah tiruana vektor yang akan dijumlahkan. Arah vektor ditentukan menurut arah sumbu-x positif dengan memakai busur derajat. Untuk melukis besarnya vektor, gunakan faktor skala. Misalnya, jikalau 1 cm mewakili pergeseran 10 m, maka pergeseran 25 m harus dilukis sepanjang 2,5 cm.
• Tentukan resultan vektor dengan metode poligon.
• Ukurlah panjang dan arah resultan vektor ini dengan mistar dan busur derajat. Ingat bahwa pengukuran arah vektor dilakukan terhadap sumbu-- x positif. 

D. Komponen-Komponen Vektor

Kita sudah mempelajari penjumlahan vektor dengan metode grafik. Sekarang kita akan mengulas metode yang lebih umum yang dipakai dalam penjumlahan vektor. Metode ini dikenal sebagai metode komponen tyktor. 

Untuk memahami pengertian komponen vektor, kita akan menggambarkan sebuah vektor pada sistem koordinat kartesian. Titik awal vektor ini terletak pada sentra koordinat (Gambar 2.39). Sembarang vektor yang terletak pada sistem koordinat ini sanggup dipandang sebagai penjumlahan dua vektor, yang masing-masing sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y. 

Dua vektor ini berturut-turut didiberi simbol A dan A , sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.39. Vektor-vektor ini disebut komponen-komponen vektor A. sepertiyang sudah diuraikan di depan, jumlah komponen-komponen ini tentu saja A. 

Secara matematis, Perhatikan bahwa setiap komponen vektor terletak sepanjang arah sumbu koordinat. Besarnya komponen-komponen vektor A ini ialah Ax dan A . y Nilai A dan A ini disebut komponen-komponen A. melaluiataubersamaini mengetahui besar dan arah A, kita sanggup menghitung Ax dan A . 

Gambar 2.39 menawarkan vektor A yang arahnya membentuk sudut 0 terhadap sumbu-x positif. Dalam buku ini akan dipakai perjanjian pengukuran sudut 0 sebagai diberikut. Sudut 0 bernilai positif jikalau pengukurannya dimulai dari sumbu-x positif menuju sumbuy positif. 

Sebaliknya, sudut 0 bernilai negatifjika pengukurannya dimulai dari sumbu-x positif tetapi menuju sumbu-y negatif. melaluiataubersamaini demikian, sumbu-y positif terletak pada sudut 90°, sumbu-x negatif terietak pada sudut 180°, dan sumbuy negatif terletak pada sudut 270° atau 90°. Jika sudut 0 diukur dengan cara demikian,berdasarkan rumus trigonometri,dari gambar 2.39 diperoleh.

E. Pemakaian Komponen-Komponen Vektor

melaluiataubersamaini mengetahui besar dan arahnya, sebuah vektor sanggup ditentukan komponen-komponennya, yaitu dengan memakai persamaan (2-16). Proses yang sebaliknya juga sanggup dilakukan, dengan mengetahui komponen-komponennya, kita sanggup memilih besar dan arah vektor. melaluiataubersamaini memakai teorema Pythagoras, dari Gambar 2.39 sanggup diperoleh besarnya vektor A, yaitu.

Arah vektor sanggup diperoleh dari definisi tangen sudutnya, Sekarang akan ditunjukkan cara memakai komponen-komponen vektor untuk menghitung jumlah vektor (resultan) dari dua vektor atau lebih. Gambar 2.42 me enunjukkan penjumlahan dua vektor A dan B yang menghasilkan resultan R. Tampak bahwa R ialah jumlah dari Ax dan B, demikian pula R ialah jumlah dari A dan B . Jadi, Gambar 2.42 Vektor R ialah jumlah dari A dan B. 

Gambar 2.42 menawarkan bahwaAx ,A , B , dan B tiruana bertanda posiis y x Akan tetapi persamaan (2-20) bahu-membahu berlaku untuk tiruana tanda, baik positif maupun negatif. Prosedur untuk memperoleh jumlah dua vektor di atas sanggup dikembangkan untuk penjumlahan lebih dari dua vektor. Diandaikan R ialah jumlah dari A, B, C, D, E, maka komponen-komponen R ialah Arah vektor resultan R adalah.

Daftar Pustaka: Yudhistira

Share :